Question

在△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的点，P₁、P₂、P₃、…、P_n-1是AB边的n等分点，CE=

1

n

AC，CF=

1

n

BC．如图1，若∠B=40°，AB=BC，则∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=

 

度；如图2，若∠A=α，∠B=β，则∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=

 

（用含α，β的式子表示）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：根据已知条件得出EP₁∥FB，EP₂∥FP₁，EP₃∥FP₂，…EP_n-1∥FP_n-2，根据两直线平行内错角相等得出∠EP₁F=∠BFP₁，∠EP₂F=∠P₁FP₂，∠EP₃F=∠P₂FP₃，…∠EP_n-1F=∠P_n-2FP_n-1，因为∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=∠BFP_n-1，∠BFP_n-1，=∠C=70°，即可求得，同理可求得∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=180°-α-β．

解答：解：∵P₁、P₂、P₃、…、P_n-1是AB边的n等分点，CE=

1

n

AC，CF=

1

n

BC．
∴EP₁∥FB，EP₂∥FP₁，EP₃∥FP₂，…EP_n-1∥FP_n-2，
∴∠EP₁F=∠BFP₁，∠EP₂F=∠P₁FP₂，∠EP₃F=∠P₂FP₃，…∠EP_n-1F=∠P_n-2FP_n-1，
∴∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=∠BFP_n-1，
∵∠B=40°，AB=BC，FP_n-1∥AC，
∴∠BFP_n-1，=∠C=70°，
同理可证：∠EP₁F+∠EP₂F+∠EP₃F+…+∠EP_n-1F=BFP_n-1=∠C=180°-α-β．

点评：本题考查了平行线分相等成比例定理和平行线的性质，两直线平行内错角相等是本题的关键．