Question

（2013•梧州一模）如图，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）请你求出点A、B、C的坐标；
（2）求出直线BC的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积等于△ACO面积的3倍？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，故可得出A，B，C三点坐标；
（2）设BC的解析式是y=kx+b，再把BC两点的坐标代入即可求出k，b的值，故可得出结论；
（3）先根据AC两点的坐标可得出AO，CO的长，故可得出△AOC的面积，同理可得出△OBC的面积，进而可得出S_△OBC=3S_△AOC，过点O作与直线BC平行的直线，则可设这条直线的解析式为y=-x+b₂，因为此直线过点O（0，0），故可得出此直线的解析式为把y=-x，代入y=-x²+2x+3即可得出x的值，故可得出结论．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，-x²+2x+3=0
解方程得：x₁=3，x₂=-1．
∴它们的坐标是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）设BC的解析式是：y=kx+b，则有

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

∴所求的解析式是：y=-x+3；

（3）存在点P，使△PBC的面积等于△ACO面积的3倍．
∵A（-1，0），C（0，3）得：AO=1，CO=3，
∴S_△AOC=

1

2

×AO•CO=

1

2

×1×3=

3

2

，
∵B（3，0），
∴BO=3，
∴S_△OBC=

1

2

×BO•CO=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△OBC=3S_△AOC，
显然，在BC上方不存在点P．
过点O作与直线BC平行的直线，则可设这条直线的解析式为：y=-x+b₂
∵此直线过点O（0，0），
∴b₂=0
∴这条平行线是：y=-x．
把y=-x代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=-x，
解得：x₁=

3+ 21

2

，x₂=

3- 21

2

，
当x₁=

3+ 21

2

时，y=

-3- 21

2

，
当x₂=

3- 21

2

时，y=

-3+ 21

2

．
∴所求的P点坐标是：（

3+ 21

2

，

-3- 21

2

）和（

3- 21

2

，

-3+ 21

2

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式等知识，难度适中．