Question

4．已知抛物线C₁：y=-x²-3x+4，C₂：y=x²-3x-4相交于A，B两点，点P，Q分别在抛物线C₁，C₂上，且都在A点与B点之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过解方程-x²-3x+4=x²-3x-4可得到A（2，-6），B（-2，6），然后利用两点间的距离公式求出线段AB的长；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（t，-t²-3t+4），Q（t，t²-3t-4），-2≤t≤2，利用PQ∥y轴得到PQ=-t²-3t+4-（t²-3t-4），然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）解方程-x²-3x+4=x²-3x-4，解得x₁=2，x₂=-2，
当x=2时，y=x²-3x-4=-6，则A（2，-6）；
当x=-2时，y=x²-3x-4=6，则B（-2，6），
所以AB=$\sqrt{（2+2）^{2}+（6+6）^{2}}$=4$\sqrt{10}$；

（2）设P（t，-t²-3t+4），Q（t，t²-3t-4），-2≤t≤2，
∵PQ∥y轴，
∴PQ=-t²-3t+4-（t²-3t-4）
=-2t²+8，
当t=0时，PQ有最大值8．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．