Question

如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D是底边BC上的一点；
（1）在AC上取一点E，画△ADE，使∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°，求∠1的度数；
（2）如图①，将题（1）中的条件“使∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°”改为“∠ADE=∠AED”，试猜想：∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，延长AD到F，连结BF、FC，使∠ABF=∠AFB，∠AFC=∠ACF，试猜想：∠1与∠2、∠3与∠4之间的关系，并选其中一个进行证明．

Answer 1

（1）∵∠AED=∠2+∠C，∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°，
∴∠C=30°，∠DAC=180°-∠ADE-∠AED=80°，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=30°
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∴∠1=∠BAC-∠DAC=120°-80°=40°；

（2）∵∠2+∠ACB=∠AED，∠1+∠B=∠2+∠ADE，∠ADE=∠AED，
∴∠2+∠ACB=∠1+∠B-∠2，
∵∠B=∠ACB，
∴∠2=∠1-∠2，
∴∠1=2∠2；

（3）∠3=2∠4，∠1=2∠2，
证明：如图2，∵∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠AFC=∠ACF，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACF=

1

2

（180°-∠FAC）=90°-

1

2

∠3，∠ACB=

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

（∠1+∠3），
∴∠2=∠ACF-∠ACB=（90°-

1

2

∠3）-（90°-

1

2

∠1-

1

2

∠3）=

1

2

∠1，
即∠1=2∠2．