Question

如图，在五边形A₁A₂A₃A₄A₅中，B₁是A₁对边A₃A₄的中点，连接A₁B₁，我们称A₁B₁是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．

Answer 1

证明：取A₁A₅中点B₃，连接A₃B₃、A₁A₃、A₁A₄、A₃A₅，
∵A₃B₁=B₁A₄，
∴S_△A1A3B1=S_△A1B1A4，
又∵四边形A₁A₂A₃B₁与四边形A₁B₁A₄A₅的面积相等，
∴S_△A1A2A3=S_△A1A4A5，
同理S_△A1A2A3=S_△A3A4A5，
∴S_△A1A4A5=S_△A3A4A5，
∴△A₃A₄A₅与△A₁A₄A₅边A₄A₅上的高相等，
∴A₁A₃∥A₄A₅，
同理可证A₁A₂∥A₃A₅，A₂A₃∥A₁A₄，A₃A₄∥A₂A₅，A₅A₁∥A₂A₄．
分析：可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
点评：此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行．