Question

对于每个正整数n，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n两点，若A_nB_n表示这两点间的距离，则
A_nB_n=

 

（用含n的代数式表示）；  A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁的值为

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是

1

n

，另一个是

1

n+1

，根据x轴上两点间的距离公式，得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，再代入计算即可．

解答：解：∵抛物线的解析式为y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，
∴抛物线与x轴交点坐标为（

1

n

，0），（

1

n+1

，0），
∴A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₁B₂₀₁₁=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

，
故答案为

2011

2012

．

点评：本题是一道找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．