Question

已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式及B的坐标；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6，
当y=0时，整理得x²+x-6=0，
解得：x₁=2，x₂=-3，
∴点B（2，0）．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=
当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，
∴
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=-，
∴点P（，）
当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
，
∴点P（，-3）．

（3）存在a的值，使得∠MON=90°，
设直线y=x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧）
则
为方程组的解
分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．
∴M′（x_M，0），N′（x_N，0），
∴OM′=-x_MON′=x_N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，
∴，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x_M•x_N=y_M•y，
由方程组消去y整理，得：x²+x+a-6=0．
∴x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的两个根，
由根与系数关系得，x_M+x_N=，x_M•x_N=a-6
又∵y_M•y_N=（x_M+a）（x_N+a）=x_M•x_N+（x_M+x_N）+a²=（a-6）-a+a²
∴-（a-6）=（a-6）-a+a²，
整理，得2a²+a-15=0
解得a₁=-3，a₂=
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=．
分析：（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．
②当P在CA的延长线上时，CP-AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同①．
（3）可联立两函数的解析式，求出M、N的坐标，过M、N作x轴的垂线设垂足为M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O与△N′NO相似，可得出M、N两点的横、纵坐标的绝对值对应成比例，据此可求出a的值．（也可用坐标系的两点间的距离公式，根据勾股定理来求解．）
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的计算方法、三角形相似、函数图象交点等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．