Question

12．如图，⊙O的半径OA⊥OD，点B是⊙O上一点，AB交OD于C，点P在OD的延长线上，PC=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接BD，若OC：CP=1：4，求tan∠DBP的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO，∠PBC=∠PCB，等量代换得到∠ACO=∠PBC，得到∠PBO=90°，于是得到结论；
（2）过D作DE⊥PB于E，设OC=a，PC=4a，得到OP=5a，根据勾股定理得到OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3a，求得OD=3a，PD=2a，根据相似三角形的性质得到BE=$\frac{12}{5}$a，于是得到结论．

解答 解：（1）∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵PC=PB，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠ACO=∠PCB，
∴∠ACO=∠PBC，
∵OA⊥OD，
∴∠A+∠ACO=90°，
∴∠PBC+∠ABO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）过D作DE⊥PB于E，
∵OC：CP=1：4，
∴设OC=a，PC=4a，
∴OP=5a，
∴PB=PC=4a，
∵∠PBO=90°，
∴OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3a，
∴OD=3a，PD=2a，
∵DE⊥PB，OB⊥PB，
∴DE∥OB，
∴△PDE∽△POB，
∴$\frac{DE}{OB}=\frac{PE}{PB}=\frac{PD}{PO}$=$\frac{2}{5}$，
∴DE=$\frac{6}{5}$a，PE=$\frac{8}{5}$a，
∴BE=$\frac{12}{5}$a，
∴tan∠DBP=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\frac{8}{5}a}{\frac{12}{5}a}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．