Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA，sinB是方程x²-x-k=0的两根．求∠A和∠B的度数及k的值．

Answer 1

解：∵sinA和sinB是方程x2-x-k=0的两个根，
∴sinA+sinB=，sinA•sinB=-k，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin²A+sin²B=1，
∴2+2k=1，
解得k=-．
故原方程可以变为：x2-x+=0，
解得sinA=sinB=，
故∠A=∠B=45°．
分析：根据锐角三角函数关系式，得sin²A+sin²B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=-k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．
点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．解题的关键是牢记一元二次方程根与系数的关系．