Question

12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若$\frac{BD}{DE}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，AD=4$\sqrt{5}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）利用相似三角形的判定和性质得出AB，利用勾股定理求出BD，进而解答即可．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E．
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ADE．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DE}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴AB=10．
由勾股定理可知 $BD=2\sqrt{5}$．
连接DC，
∴$BD=DC=2\sqrt{5}$．
∵A，C，D，B四点共圆．
∴∠DCE=∠B．
∴△DCE∽△ABD．
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$．
∴CE=2．

点评 本题考查切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．