(1)如图1.点E.F分别是正方形ABCD的边BC.CD上的点.∠EAF=45°.连接EF.则EF.BE.FD之间的数量关系是:EF=BE+FD．连结BD.交AE.AF于点M.N.且MN.BM.DN满足MN2=BM2+DN2.请证明这个等量关系,(2)在△ABC中.AB=AC.点D.E分别为BC边上的两点．①如图2.当∠BAC=60°.∠DAE=30°时.BD.DE.EC应满足的等量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN²=BM²+DN²，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是

；
②如图3，当∠BAC=α，（0°＜α＜90°），∠DAE=

α时，BD、DE、EC应满足的等量关系是

．[参考：sin²α+cos²α=1】

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出结论MN²=DN²+BM²；
（2）①如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=

CF，GF=

CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论；
②如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论；

解答：解：（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．

∴△ABM≌△ADM′，
∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，
即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAM′+∠DAF=45°，
即∠M′AN=45°，
∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中

AM=AM′

∠MAN=∠M′AN

AN=AN

，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，
∴M'N²=DN²+DM'²，
∴MN²=DN²+BM²；
（2）①BD、DE、EC关系式为：DE²=BD²+BD•EC+EC²．
理由：如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠ACF=60°，
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，
即∠ECF=120°，
∴∠FCG=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CG=

CF，
在Rt△CFG中，由勾股定理，得
FG=

CF．
∵∠DAE=30°，

∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠CAF+∠EAC=30°，
即∠EAF=30°．
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中

AD=AE

∠DAE=∠FAE

∠AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF²=EG²+FG²，
∴EF²=（EC+CG）²+（

CF）²，
∴EF²=（EC+

CF）²+

CF²，
=EC²+EC•CF+

CF²+

CF²，
=CE²+EC•CF+CF²，
∴DE²=CE²+EC•BD+BD²．
故答案为：DE²=CE²+EC•BD+BD²；
②BD、DE、EC等量关系是：DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．
理由：把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．作FG⊥EC的延长线于点G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，
∴∠BAC=∠FCG=α
∴∠ACF=60°，
∴CG=cosα•CF，FG=sinα•CF．
∵∠DAE=

α，
∴∠BAD+∠CAE=

α．
∴∠CAF+∠CAE=

α，
即∠EAF=

α，
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中

AD=AE

∠DAE=∠FAE

∠AE=AE

，

∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF²=EG²+FG²，
EF²=（EC+CG）²+（sinα•CF）²，
∴EF²=（CE+cosα•CF）²+sin²α•CF²，
=CE²+2CE•CF•cosα+cos²α•CF²+sin²α•CF²，
=CE²+2CE•CF•cosα+（cos²α+sin²α）CF²．
∵sin²α+cos²α=1，
∴DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．
故答案为：DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，解答时证明三角形全等和灵活运用三角函数值是关键．

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