Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．
（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；
（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形；
（3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时，四边形MENF是正方形？（直接写出结论，不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）∵点M是AD的中点，∴AM=MD，由等腰梯形的性质知，AB=CD，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB
∴△AMB≌△DMC；∴BM=CM，∠ABM=∠DCM，∴∠ABC-∠ABM=∠DCB-∠DCM即∠EBN=∠FCN，
∵点N是BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，∴BN=NC，∴EN，NF是△BMC的中位线，有EN∥CM，NF∥BM，EN=NF=

1

2

BM，∴△BEN≌△CFN．
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．先证四边形MENF是平行四边形，再证EN=NF，即证平行四边形MENF是菱形．
（3）由于等腰梯形是轴对称图形，对称轴是MN所在的直线，线段MN是等腰梯形的高，由于正方形的对角线相等，∴当EF=MN时，即MN=

1

2

BC，菱形MENF是正方形．

解答：解：
（1）△AMB≌△DMC；△BEN≌△CFN．（2分）

（2）判断四边形MENF为菱形；（3分）
证明：∵ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
又∵M为AD的中点，
∴MA=MD．
∴△AMB≌△DMC，
∴BM=CM；（4分）
又∵E、F、N分别为BM、CM、BC中点，
∴MF=NE=

1

2

MC，ME=NF=

1

2

BM，（或MF∥NE，ME∥NF；）（5分）
∴EM=NF=MF=NE；
∴四边形MENF为菱形．（6分）
（说明：第（2）问判断四边形MENF仅为平行四边形，并正确证明的只给（3分）．）

（3）当h=

1

2

BC（或BC=2h或BC=2MN）时，MENF为正方形．（8分）

点评：本题利用了：
1、等腰梯形的性质：底角相等，两腰相等；
2、全等三角形的判定和性质；
3、三角形中位线的性质；
4、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
5、对角线相等的菱形是正方形．