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如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB= $数学公式$ ，∠BAO=30度．将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由．

解：（1）∵∠OBC=∠DBC= $\text{[math]}$ ∠OBA= $\text{[math]}$ ×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°= $\text{[math]}$ =1
∴点C的坐标为（1，0）
又点B的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）
∴设直线BC的解析式为y=kx+ $\text{[math]}$
∴0=k+ $\text{[math]}$ ，
∴k=- $\text{[math]}$
则直线BC的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵在Rt△AOB中，OA= $\text{[math]}$ =3
∴A（3，0），
又∵B（0， $\text{[math]}$ ），C（1，0）
∴ $\text{[math]}$
解之得：a= $\text{[math]}$ ，b=- $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$
∴所求抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
配方得：y= $\text{[math]}$ （x-2）²- $\text{[math]}$
∴顶点为 $\text{[math]}$
把x=2代入y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，得：y=- $\text{[math]}$ ≠- $\text{[math]}$ ，
∴顶点M不在直线BC上．
分析：（1）根据题意易得∠OBC=∠DBC=30°，进而在Rt△COB可得C的坐标，又有B的坐标；进而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的长，即可得A的坐标；将ABC的坐标代入解析式方程可得abc的值，进而可得抛物线的解析式；将M的坐标代入判断其是否在抛物线上．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．

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如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=

，∠BAO=30度．将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由．

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如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OB=2

，∠OAB=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折

痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点

重合，点A在x轴上，点B在y轴上OB=

，∠BAO=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数解析式；
（3）设直线BE与（2）中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使△PMN的周长最小，若存在，请求出点P的坐标和最小值；若不存在，请说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上， $数学公式$ ，∠OAB=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式．

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科目：初中数学 来源：山东省中考真题 题型：解答题

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=

，∠BAO=30度，将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC。

（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由。

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