Question

如图，已知抛物线y=ax²-

3

2

x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=

1

2

x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=

1

2

x-2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）由直线y=

1

2

x-2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax²-

3

2

x+c，即得a、c的值，从而有抛物线解析式．
（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．
（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．

解答：（1）解：∵直线y=

1

2

x-2交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-

3

2

x+c过B、C两点，
∴

0=16a-6+c -2=c

，
解得

a= 1 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）证明：如图1，连接AC，

∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2与x负半轴交于A点，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=

5

，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2

5

，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形．

（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为

5

2

，理由如下：
①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．

设GC=x，AG=

5

-x，
∵

AG

AC

=

GF

CB

，
∴

5 -x

5

=

GF

2 5

，
∴GF=2

5

-2x，
∴S=GC•GF=x•（2

5

-2x）=-2x²+2

5

x=-2[（x-

5

2

）²-

5

4

]=-2（x-

5

2

）²+

5

2

，
即当x=

5

2

时，S最大，为

5

2

．
②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

设GD=x，
∵

AD

AB

=

GD

CB

，
∴

AD

5

=

x

2 5

，
∴AD=

5

2

x，
∴CD=CA-AD=

5

-

5

2

x，
∵

CD

CA

=

DE

AB

，
∴

5 - 5 2 x

5

=

DE

5

，
∴DE=5-

5

2

x，
∴S=GD•DE=x•（5-

5

2

x）=-

5

2

x²+5x=-

5

2

[（x-1）²-1]=-

5

2

（x-1）²+

5

2

，
即x=1时，S最大，为

5

2

．
综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为

5

2

．

点评：本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题及相似三角形性质等知识点，难度适中，适合学生巩固知识．