Question

平行四边形ABCD中，AB=5，AD=8，∠C、∠D的平分线分别交AD、BC于点E、F，且AF⊥BC．
（1）求tan∠ADF；
（2）求CE的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD=BC=8，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵∠C、∠D的平分线分别交AD、BC于点E、F，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠DFC=∠FDC，
∴FC=DC=5，
同理可证：DE=DC=5，
∴BF=AE=3，
∵AF⊥BC．AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF=90°，
在Rt△ABF中，AF²+BF²=AB²，AF=4，
在Rt△AFD中，tan∠ADF=；

（2）连接EF，
在Rt△AFD中，AF=4，AD=8，AF²+AD²=FD²，
∴DF=4，
∵FC=DE=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵FC=DC，
∴平行四边形EFCD是菱形，
∵S_菱形EFCD=CE•FD=AF•CF，
即וCE=5×4，
∴CE=2．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，∠C、∠D的平分线分别交AD、BC于点E、F，易得△FCD与△DCE是等腰三角形，则可求得DE与FC的长，然后由勾股定理即可求得AF的长，继而可求得tan∠ADF的值；
（2）首先连接EF，易证得平行四边形EFCD是菱形，然后由菱形的面积的求解方法，即可求得CE的长．
点评：此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数的定义等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．