Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，D是AB延长线上一点，且DC=AC，∠CAB=30°．
（1）试判断CD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵DC=AC，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°（等边对等角）．
连接OC．
∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴∠DCO=90°．
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；

（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=AB=1，
∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=，
∴S_阴影=S△_OCD-S_扇形OCB=×1×-=-．
分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证；
（2）利用“切割法”解答，即S_阴影=S△_OCD-S_扇形OCB．
点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．