Question

在平面直角坐标系中，有抛物线y=

1

4

x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：根据点P在抛物线上用n表示出m²，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．

解答：解：∵P（m，n）是抛物线y=

1

4

x²+1上一动点，
∴

1

4

m²+1=n，
∴m²=4n-4，
∵点A（0，2），
∴AP=

(m-0)2+(n-2)2

=

4n-4+n2-4n+4

=n，
∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，
过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，
∵AP=2AD，
∴PF=2DE，
∴OF=2OE，
设OE=a，则OF=2a，
∴

1

4

×（2a）²+1=2（

1

4

a²+1），
解得a=

2

，
∴

1

4

a²+1=

1

4

×

2

²+1=

3

2

，
∴点D的坐标为（

2

，

3

2

），
设OP的解析式为y=kx，
则

2

k=

3

2

，
解得k=

3 2

4

，
∴直线OP的解析式为y=

3 2

4

x．

点评：本题考查了二次函数的性质，抛物线上的点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，求出抛物线上的点P到点A的距离等于到x轴的距离是解题的关键，也是本题的难点．