Question

18．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40°得到△A₁B₁C₁，AB与A₁C₁相交于点D，A₁C₁、BC₁与AC分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA₁D；
（2）当∠C=40°时，请你证明四边形A₁BCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，得出A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，再根据ASA即可判定△BCF≌△BA₁D；
（2）根据∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C₁=∠C=40°，进而得到∠C₁=∠CBF，∠A=∠A₁BD，由此可判定A₁E∥BC，A₁B∥CE，进而得到四边形A₁BCE是平行四边形，最后根据A₁B=BC，即可判定四边形A₁BCE是菱形．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40度到△A₁BC₁的位置，
∴A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，
在△BCF与△BA₁D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}=∠C}\\{{A}_{1}B=BC}\\{∠{A}_{1}BD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BA₁D（ASA）；

（2）∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C₁=∠C=40°，
∴∠C₁=∠CBF=40°，∠A=∠A₁BD=40°，
∴A₁E∥BC，A₁B∥CE，
∴四边形A₁BCE是平行四边形，
∵A₁B=BC，
∴四边形A₁BCE是菱形．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定的运用，解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．