Question

在△ABC中，∠B=38°，AD是BC边上的高，并且AD²=BD•DC，则∠BCA的度数为________．

Answer 1

52°或128°
分析：分两种情况考虑：当∠BCA为锐角和钝角，将已知的积的恒等式化为比例式，再根据夹角为直角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的对应角相等，利用直角三角形的两锐角互余及外角性质分别求出两种情况下∠BCA的度数即可．
解答：解：分两种情况：
①当∠BCA为锐角时，如图1所示，
∵AD²=BD•DC，
∴=，
又AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴∠B=∠CAD=38°，∠BAD=∠BCA．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=38°，
∴∠BAD=52°，
∴∠BCA=∠BAD=52°；
②当∠BCA为钝角时，如图2所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=38°，
可得∠CAD=∠B=38°，
则∠BCA=∠CDA+∠CAD=128°．
综上，∠BCA的度数为52°或128°．
故答案为：52°或128°．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及外角的性质，利用了分类讨论的思想，其中相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．