Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过O(0，0)、A(4，0)、B(3，－)三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在(1)中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由(注意：本题中的结果可保留根号)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线的解析式为： 　　由题意得：　　1分 　　解得：　　2分 　　∴抛物线的解析式为：　　3分 　　(2)存在　　4分 　　抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M(如图)， 设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C 　　连接MC，过C作CD⊥x轴于D 　　∵MC＝OM＝2，∠CBM＝30°，CM⊥BC 　　∴∠BCM＝90°，∠BMC＝60°，BM＝2CM＝4，∴B(－2，0) 　　在Rt△CDM中，∠DCM＝∠CDM－∠CMD＝30° 　　∴DM＝1，CD＝＝　∴C(1，) 　　设切线l的解析式为：，点B、C在l上，可得： 　　　解得： 　　∴切线BC的解析式为： 　　∵点P为抛物线与切线的交点 　　由　解得：　 　　∴点P的坐标为：，　　8分 　　∵抛物线的对称轴是直线 　　此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 　　于是作切线l关于直线的对称直线(如图) 　　得到B、C关于直线的对称点B1、C1 　　满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： 　　，即为所求的点． 　　∴这样的点P共有4个：，，，　　12分 　　(本题其它解法参照此标准给分)