Question

（2010•福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O₁是以BC为直径的圆．过原点O作O₁的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O₁相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的长，在Rt△BCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作CD⊥x轴于D，易证得△CDA∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）在（2）中已经证得BC⊥OC，则OC是⊙O₁的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O₁P，若存在符合条件的Q点，那么点Q必为直线O₁P与抛物线的交点，所以解决此题的关键是求出O₁、P的坐标；过O₁作O₁H⊥x轴于H，则O₁H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH=AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据梯形中位线定理即可得到O₁H的长，由此可求出点O₁的坐标；过P作PF⊥x轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则OC=OP=O₁C=O₁P=5，由此可得四边形OCO₁P是正方形，得∠POC=90°，根据等角的余角相等，可证得∠OCD=∠POF，由此可证得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线O₁P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标．
解答：解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=x²+bx+c，
得，
解得；
∴该抛物线的解析式为y=x²-x；

（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上，
∴B（5，10）
∵点A、C关于直线y=2x对称，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5
∵S_Rt△OAB=AE•OB=OA•AB
∴AE=2，∴AC=4；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴==；
∴CD=4，AD=8；
∴C（-3，4）
当x=-3时，y=×9-×（-3）=4；
∴点C在抛物线y=x²-x上；

（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O₁相切；
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O₁P，过点O₁作O₁H⊥x轴于点H；
∵CD∥O₁H∥BA
∴C（-3，4），B（5，10）
又∵O₁是BC的中点，
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4，
∴OH=OA-AH=1，同理可得O₁H=7，
∴点O₁的坐标为（1，7）
∵BC⊥OC，∴OC为⊙O₁的切线；
又∵OP为⊙O₁的切线，
∴OC=OP=O₁C=O₁P=5
∴四边形OPO₁C为正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
设直线O₁P的解析式为y=kx+b（k≠0），
把O₁（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
得，
解得；
∴直线O₁P的解析式为y=x+；
若以PQ为直径的圆与⊙O₁相切，则点Q为直线O₁P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），
则有n=m+，n=y=m²-m
∴m+=m²-m，
整理得m²+3m-50=0
解得m=，
∴点Q的横坐标为或．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大．