Question

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，将△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁，A₁B交AC与点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁，
∴∠ABE=∠FBC₁=α，∠C₁=∠C=30°，BC₁=BC，BA=BA₁，
∴BA=BC₁，
在△BAE和△BC₁F中
，
∴△BAE≌△BC₁F，
∴BE=BF，
∵BA₁=BC=BA，
∴EA₁=FC；
（2）四边形BC₁DA为菱形．理由如下：
∵α=30°，
∴∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
而∠A₁=∠C=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴AB∥A₁C₁，BC₁∥AC，
∴四边形BC₁DA为平行四边形，
∵BA=BC₁，
∴四边形BC₁DA为菱形．
分析：（1）根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°，再根据旋转的性质可得到∠ABE=∠FBC₁=α，∠C₁=∠C=30°，BC₁=BC，BA=BA₁，则BA=BC₁，根据三角形判定方法易得△BAE≌△BC₁F，得到BE=BF，又BA₁=BC=BA，即可得到EA₁=FC；
（2）当α=30°时，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，而∠A₁=∠C=30°，则∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，根据平行线的判定方法得到AB∥A₁C₁，BC₁∥AC，得到四边形BC₁DA为平行四边形，由BA=BC₁，根据菱形的判定方法即可得到四边形BC₁DA为菱形．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的判定与性质以及菱形的判定方法．