Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8．D、E分别是AC、BC边的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB以每秒3个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿射线AB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P与点B重合时，P、Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=

 

秒时，点P到达终点B．
（2）当点P运动到点D时，求△BPQ的面积．
（3）设△BPQ的面积为S，求出点Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式．
（4）当PQ∥DB时，在图2中，画出直线PQ所在的大致位置，并求出t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分别是AC，BC的中点，求出AD、DE、BE，从而求出t的值；
（2）根据已知求出AD，当点P运动到点D时，得出AP=AD=4，从而求出AQ、QB的值，最后根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）分三种情况讨论当点P在AD上，点P在DE上，点P在EB上，第一种情况根据t的取值范围求出AQ、AB的值，从而得出QB的值，再根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；第二种情况先过点P作PH⊥AB于点H，根据D、E分别是AC、BC边的中点，得出DE∥AB，求出PH=AD和QB的值，再根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；第三种情况过点P作PH⊥AB于H，在Rt△ABC中，根据已知和勾股定理求出CB，再根据PB=12-3t，sin∠PBQ=

PH

PB

=

CA

CB

，求出PH=

4

5

（12-3t）再根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；
（4）当点Q在AB上时，如果点P在AD上，且满足PQ∥DB，得出

AP

AD

=

AQ

AB

，求出t；当点Q在AB的延长线上时，过点P作PH⊥AB于点H，根据PB=12-3t，PH=

4

5

（12-3t），得出BH=

3

5

（12-3t），再根据BQ=2t-6，求出HQ，再证明出△DAB∽△PHQ，即可求出t的值．

解答：解：（1）已知Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=

62+82

=10，
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴当点P到达终点B时所用时间t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值为4秒．
故答案为：4．

（2）∵AC=8，点D是AC的中点，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴当点P运动到点D时，AP=AD=4．
∴AQ=2×

4

3

=

8

3

，QB=AB-AQ=6-

8

3

=

10

3

，
∴S_△BPQ=

1

2

QB•AP=

1

2

×

10

3

×4=

20

3

．

（3）①当点P在AD上，即0≤t≤

4

3

（或0≤t＜

4

3

）时，
∵AQ=2t＜6，AB=6，∴QB=6-2t＞0，
又∵AP=3t，
∴S=

1

2

QB•AP=

1

2

（6-2t）×3t，即S=-3t²+9t．
②当点P在DE上，即

4

3

＜t≤

7

3

（或

4

3

≤t≤

7

3

）时，
过点P作PH⊥AB于点H，
∵D、E分别是AC、BC边的中点，∴DE∥AB，∴PH=AD=4．
又QB=6-2t＞0，
∴S=

1

2

QB•PH=

1

2

（6-2t）×4，即S=-4t+12．
③当点P在EB上，且

7

3

＜t≤3（或

7

3

≤t≤3）时，
过点P作PH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴CB=

AB2+AC2

=

62+82

=10．
∵PB=12-3t，
∴sin∠PBQ=

PH

PB

=

CA

CB

，
即

PH

12-3t

=

8

10

，
∴PH=

4

5

（12-3t）． 
又∵QB=6-2t≥0，
∴S=

1

2

QB•PH=

1

2

（6-2t）×

4

5

（12-3t），即S=

12

5

t²-

84

5

t+

144

5

． 

（4）当点Q在AB上时，如果点P在AD上，且满足PQ∥DB，则有：

AP

AD

=

AQ

AB

，即

3t

4

=

2t

6

，解得t=0（不合题意，舍去）． 

点Q在AB的延长线上时，直线PQ所在的大致位置如图所示：

过点P作PH⊥AB于点H，
∵PB=12-3t，PH=

4

5

（12-3t），
∴BH=

3

5

（12-3t），
又∵BQ=2t-6，
∴HQ=

3

5

（12-3t）+2t-6=

1

5

(t+6)，
∵PQ∥DB，
∴∠DBA=∠PQH，
又∵∠A=∠PHQ，
∴△DAB∽△PHQ，
∴

DA

PH

=

AB

HQ

，即

4

4 5 (12-3t)

=

6

1 5 (t-6)

，
解得t=

66

19

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．