Question

（2013•鞍山二模）已知：在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，
（1）如图1，AC=BC，点E为AC的中点，求证：EF=EG；
（2）如图2，

EF

EG

=

5

2

，AC=2BC，试探究∠CBE与∠ABE的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）∠CBE=∠ABE，作EP⊥AB于点P，EQ⊥CD于点Q，易证△EFP∽△EGQ，利用相似三角形的性质和已知条件证明EP=CP即可．

解答：证明：（1）如答图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
在△EFM和△EGN中，

∠NEG=∠FEM EN=EM ∠ENG=∠EMF

，
∴△EFM≌△EGN（ASA），
∴EF=EG；
（2）解：∠CBE=∠ABE，
理由如下：
作EP⊥AB于点P，EQ⊥CD于点Q，
易证：△EFP∽△EGQ，
∴

EF

EG

=

EP

EQ

=

5

2

，
设EP=

5

x，QE=2x，
∵∠A=CEQ，
∴tan∠CEQ=

CQ

EQ

=tanA=

BC

AC

=

1

2

，
∴CQ=x，∴CE=

5

x，
∴EP=EC，
∵EP⊥AB于点P，EC⊥CB于C，
∴∠ABE=CBE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理以及锐角三角函数的概念的考查．