Question

已知等边△ABC边AB上一动点P，连PC，在PC上方作等边△PDC，连AD．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若AP=2BP，过P点作PF⊥CD，交AC于E，交CD于F，AC与PD相交于N点，求证：PN=2DN；
（3）在（2）中，若CD=3，求PE的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）证明△BCP≌△ACD，得出∠CAD=∠B=60°，利用内错角相等，两直线平行可得出结论；
（2）延长DP交CB的延长线于点G，分别根据△ADP∽△BGP、△ADN∽△CGN，得出各线段之间的关系，然后可得出结论；
（3）取DN中点H，连接FH，则可判断HF是△DNC的中位线，得出HF∥CN，利用相似三角形的性质，可得出PE与PF之间的比例关系，在Rt△PCF中求出PF，即可得出PE．

解答：解：（1）∵∠BCP+∠PCA=∠ACD+∠PCA=60°，
∴∠BCP=∠ACD，
∵△ABC、△PDC是等边三角形，
∴BC=AC，CP=CD，
在△BCP和△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴∠CAD=∠B=60°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）延长DP交CB的延长线于点G，
设PB=2，则AP=4，
由（1）知：AD=PB=2，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△BGP，
∴

AD

BG

=

AP

PB

=2，
∴AD=2BG，
又∵△ADN∽△CGN，
∴

DN

NG

=

AD

CG

=

2

BG+BC

=

2

1+AB

=

2

1+6

=

2

7

，
设DN=2m，则NG=7m，
∵PD=2PG，
∴PD=6m，PG=3m，PN=NG-PG=4m，
∴PN=2DN．

（3）取DN中点H，连接FH，
∵H是ND中点，F是CD中点，
∴HF是△DNC的中位线，
∴HF∥CN，
∴

PE

PF

=

PN

PH

，
又∵PN=2ND，ND=2NH，
∴

PE

PF

=

PN

PH

=

4

5

，
∴PE=

4

5

PF，
在Rt△PCF中，PF=

PC2-CF2

=

9- 9 4

=

3 3

2

，
∴PE=

6 3

5

．

点评：本题考查了相似形的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及平行线的性质，综合性较强，解答本题需要同学们有扎实的基本功，熟练数形结合思想的运用．