Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，过O点作EF∥AD分别交AB，CD于点E，F．
（1）下面是小明对“△AOB与△DOC是否相似”的解答：
解：△AOB∽△DOC理由如下：
∵AD∥BC（　　）
∴△AOD∽△COB
∴

OA

OC

=

OD

OB

（　　）
又∵∠AOB=∠DOC（　　）
∴△AOB∽△DOC（　　）
你认为小明的每一步解答过程是否正确？若正确，请在括号内填上理由；若不正确，请在该步骤后面的括号内打“×”．
（2）OE与OF有何关系？为什么？
（3）试求出

OE

AD

+

OF

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）△AOB∽△DOC．理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴△AOD∽△COB．
∴

OA

OC

=

OD

OB

（相似三角形的对应边成比例）．
又∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（×）不能得到△AOB∽△DOC，
是∵

OA

OC

，

OD

OB

不是△AOB与△DOC的对应边的比．
（2）由于有

AC

OC

=

BD

OB

，

AD

OF

=

AD

OE

分别成立，故OF=OE成立
（3）由于

OE

AD

=

OB

BD

，

OF

BC

=

OD

BD

成立，再式相加，即得出

OE

AD

+

OF

BC

=1

解答：解：（1）（已知）；（相似三角形的对应边成比例）；（对顶角相等）；（×）

（2）OE=OF理由如下：
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

．
∴

AC

OC

=

BD

OB

．
又∵EF∥AD，
∴

AD

OF

=

AC

OC

AD

OE

=

BD

OB

．
∴

AD

OF

=

AD

OE

．
∴OF=OE．

（3）∵EF∥AD∥BC，
∴

OE

AD

=

OB

BD

OF

BC

=

OD

BD

．
∴

OE

AD

+

OF

BC

=

OB

BD

+

OD

BD

=1．

点评：本题利用了平行线的性质：平行线分对应线段成比例，相似三角形的性质求解．