Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标：
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点C为抛物线上的一点，且A、B、C、O可以构成梯形的四个顶点，请直接写出点C的坐标

（4，22）或（-2，-1）或（-4，

14

3

）

．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，根据点A的坐标求出AE、OE，然后根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBF，再利用“角角边”证明△AOE和△OBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=OF，OE=BF，再根据点B在第一象限写出坐标即可；
（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx，然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值即可得解；
（3）分别求出OA、OB、AB的解析式，再根据梯形的对边平行分AC∥OB，OC∥AB，BC∥OA三种情况分别写出过点C的直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可．

解答：（1）解：过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∵A（-3，1），
∴AE=1，OE=3，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，

∠AOE=∠OBF ∠AEO=∠OFB=90° AO=BO

，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF=1，OE=BF=3，
∴点B（1，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx，
则

9a-3b=1 a+b=3

，
解得

a= 5 6 b= 13 6

，
故，所求抛物线的解析式为y=

5

6

x²+

13

6

x；

（3）易求直线OA的解析式为y=-

1

3

x，
直线OB的解析式为y=3x，
设直线AB的解析式y=kx+b，
则

-3k+b=1 k+b=3

，
解得

k= 1 2 b= 5 2

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+

5

2

，
①AC∥OB时，直线AC的解析式为y=3x+10，
联立

y= 5 6 x2+ 13 6 y=3x+10

，
解得

x1=-3 y1=1

（为点A坐标），

x2=4 y4=22

，
∴点C的坐标为（4，22），
②OC∥AB时，直线OC的解析式为y=

1

2

x，
联立

y= 5 6 x2+ 13 6 y= 1 2 x

，
解得

x1=-2 y1=-1

，

x2=0 y2=0

（为点O坐标），
∴点C的坐标为（-2，-1）；
③BC∥OA时，直线BC的解析式为y=-

1

3

x+

10

3

，
联立

y= 5 6 x2+ 13 6 x y=- 1 3 x+ 10 3

，
解得

x1=1 y1=3

（为点B的坐标），

x2=-4 y2= 14 3

，
∴点C的坐标为（-4，

14

3

），
综上所述，点C的坐标为（4，22）或（-2，-1）或（-4，

14

3

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，梯形的两底边互相平行，难点在于（3）要分情况讨论．