Question

已知∠AOB内有一点P，试在OA、OB上求点M、N，使△PMN的周长最短．（要求尺规作图，写出作法步骤证明）

Answer 1

证明：由对称点的性质可知，
OA为PQ的中垂线，
故PM=QM．
同理：PN=NR．
∴△PMN的周长=线段QR的长，
当在OA，OB上取其它点E，F时，如图中△PEF，
△PEF的周长=PE+EF+PF=QE+EF+RF，
显然QE+EF+RF＞QR，
∴△PMN为周长最短的三角形．
分析：先根据轴对称的性质作出P关于OA、OB的对称点Q、R，连接QR，与OA、OB交点即为M、N．再在OA、OB上另取E、F，根据两点之间线段最短得到QR为最短距离．
点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，将三角形的周长转化为直线和折线的长度再进行比较是解答此题的关键．