Question

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PDB；
（2）求证：BC²=AB•BD；
（3）若PA=4，PC=4

3

，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；
（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB-PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
则BC平分∠PBD；

（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

CB

=

BC

BD

，
即BC²=AB•BD；

（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，
∴PC²=PA•PB，
∵PA=4，PC=4

3

，
∴48=4PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB-PA=12-4=8，
∴OC=4，PO=PA+AO=8，
∵△OCP∽△BDP，
∴

OC

BD

=

OP

BP

，
即

4

BD

=

8

12

，
则BD=6．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．