Question

我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图（1）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点。将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2）、图（3），……。

（1）观察以上图形并完成下表：

图形的名称	基本图的个数	特征点的个数
图（1）	1	7
图（2）	2	12
图（3）	3	17
图（4）	4
…	…

猜想：在图（n）中，特征点的个数为       （用n表示）

（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O₁的坐标为（x₁，2），则x₁=       ；图（2013）的对称中心的横坐标为       。

 

Answer 1

【答案】

（1）

图形的名称	基本图的个数	特征点的个数
图（1）	1	7
图（2）	2	12
图（3）	3	17
图（4）	4	22
…	…

（2）；

【解析】（1）寻找规律：后一个图形特征点的个数比前一个图形的特征点多5个，符合一次函数的特征。

设图形数为n，特征点的个数为y，二者之间的关系为。

将（1，7），（2，12）代入，得，解得。

∴。检验：（3，17）符合。∴奥图形数与特征点的个数之间的关系为。

当n=4时，。

（2）O₁的横坐标是边长为2的等边三角形的高，根据含30度角直角三角形的性质可得x₁=

易得图（2013）共有2013个正六边形，总的横坐标是，

∴图（2013）的对称中心的横坐标为。