Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁+x₂=1，x₁•x₂=-6，且△ABC的面积为．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如果P是线段AC上一个动点（不与A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：根据题意画出图形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-x²+x+3．

（2）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-=m，
解得m=．
∴P（x_P，），Q（x_Q，），
点P在直线AC上，
解得x_P=-，P（-，）．
∴点R₁（-，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于R₂，
同理可求得x_Q=，Q（ ，）．
∴点R₂（ ，0）．验证成立，
∴R₁（-，0）、R₂（ ，0）是满足条件的点．
分析：（1）已知A，B的坐标，易求出三角形ABC的面积以及点C的坐标．易求解析式．
（2）假设存在点R，直线y=m与y轴的交点为点E，根据△PQR为等腰直角三角形列式求解即可．
点评：本题考查的是二次函数的综合运用，难度较大，要利用大量的辅助线的帮助，注意各部分知识的综合应用，并注意总结积累这些综合题的解题思路．