Question

下图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x―m)²―m²＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

(1)当m＝2时，求点B的坐标；

(2)求DE的长？

(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

答案：
解析：

(1)当m＝2时，y＝(x―2)2＋1 　　把x＝0代入y＝(x―2)2＋1，得：y＝2 　　∴点B的坐标为(0，2) 　　(2)延长EA，交y轴于点F 　　∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE 　　∴△AFC≌△AED 　　∴AF＝AE， 　　∵点A(m，―m2＋m)，点B(0，m) 　　∴AF＝AE＝|m|，BF＝m―(―m2＋m)＝m2 　　∵∠ABF＝90°―∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°， 　　∴△ABF∽△DAE 　　∴＝，即：＝ 　　∴DE＝4 　　(3)①∵点A的坐标为(m，―m2＋m)， 　　∴点D的坐标为(2m，―m2＋m＋4)， 　　∴x＝2m，y＝―m2＋m＋4 　　∴y＝―·＋＋4 　　∴所求函数的解析式为：y＝―x2＋x＋4 　　②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF 　　(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(图1)， 　　点P的横坐标为3m 　　点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)―(m2)＝―m2＋m＋4 　　把P(3m，―m2＋m＋4)的坐标代入y＝―x2＋x＋4得： 　　―m2＋m＋4＝―×(3m)2＋×(3m)＋4 　　解得：m＝0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去) 　　或m＝8 　　(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(图2)， 　　点P的横坐标为m 　　点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)＋(m2)＝m＋4 　　把P(m，m＋4)的坐标代入y＝―x2＋x＋4得： 　　m＋4＝―m2＋m＋4 　　解得：m＝0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)或m＝―8 　　综上所述：m的值8或―8．