Question

如图，在矩形ABCD中，点O是边AD上的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF．
（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20，四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由．
（3）若AB=m，BC=n，当m、n满足什么条件时，四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出四边形是平行四边形，根据勾股定理求出AE=DE，即可得出答案．
（2）求出S_{四边形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，设AB=x，则BC=10-x，四边形AEDF的面积为y，求出y=x（10-x），求出二次函数的最值即可．
（3）根据矩形能推出△BAE∽△CED，得出比例式，代入得出方程，求出方程的判别式，即可得出答案．

解答：解：（1）当点E运动到BC的中点时，四边形AEDF是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
由勾股定理得：AE=DE，
∵点O是边AD上的中点，OE=OF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF是菱形．
    
（2）存在，
∵点O是AD的中点，
∴AO=DO，
∵OE=OF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴S_{四边形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，
设AB=x，则BC=10-x，四边形AEDF的面积为y，
y=x（10-x）
=-x²+10x
=-（x-5）²+25，
当x=5时，四边形AEDF的面积最大为25．

（3）当m≤

1

2

n时，四边形AEDF能成为一个矩形，
理由是：设BE=z，则CE=n-z，
当四边形AEDF是矩形时，∠AED=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△BAE∽△CED，
∴

AB

CE

=

BE

CD

，
∴

m

n-z

=

z

m

，
∴z²-nz+m²=0，
当判别式△=（-n）²-4m²≥0时，方程有根，即四边形AEDF是矩形，
解得：m≤

1

2

n，
∴当m≤

1

2

n时，四边形AEDF能成为一个矩形．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定，二次函数的最值，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．