Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上.OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3, ∠OAB=45°，E，F分别是线段OA,AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为  ▲ ；如果△AEF是等腰三角形．△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积   ▲ .

Answer 1

，或1或    

解析解：过B作BM⊥x轴于M；

Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=；
∴BC=OA﹣AM=4﹣=，CD=BC﹣BD=；
连接OD；
如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；

又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°，   
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，即：，
∴y与x的解析式为：，
当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；

∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵，
∴，
，
∴，
∴；
（也可用S_阴影=S_△A‘EF﹣S_△A‘BD），
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，

∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴