Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当E，F两点在什么位置时，y有最小值并求出这个最小值．

Answer 1

解：（1）解方程可得sinα₁=或sinα₂=，
∵AD＞AB，
∴sinα=，舍去
取sinα=，则有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，FC=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
则△AEF的面积y=16×12-×12x-×16（20-x）-（16-x）（x-8）
=x²-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=x²-10x+96=（x-10）²+46，
所以当x=10，即BE=10，CF=2时，y有最小值为46．
分析：（1）本题中△AEF的面积无法直接求出，可用梯形ABCF的面积-△ABE的面积-△CEF的面积来求．关键是求出AD，BC的长．先通过解方程求出sinα的值，进而可在直角三角形ABD中，根据BD的长和α的正弦值求出AD，AB的长，即可表示出AB、BE、CE、CF的长，然后按上面所说的△AEF的面积计算方法即可求出y，x的函数关系式．
（2）根据（1）得出的函数的性质即可得出y的最小值以及对应的x的值．可根据x的值来确定E、F两点的位置．
点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．
不规则图形或无法直接求出的图形面积通常转化为规则图形的面积的和差．