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(2009•营口)如图,正方形ABCO的边长为,以O为原点建立平面直角坐标系,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O(α<45°),B1C1交y轴于点D,且D为B1C1的中点,抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1
(1)求tanα的值;
(2)求点A1的坐标,并直接写出点B1、点C1的坐标;
(3)求抛物线的函数表达式及其对称轴;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PB1C1为直角三角形?若存在,直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据旋转的知识可知:四边形A1B1C1O为正方形,∴OC1=B1C1,∠OC1B1=90°,∠C1OD=∠AOA1=α,又∵D是B1C1的中点,∴,∴在Rt△C1OD中,tanα=.∴tanα的值是
(2)根据三角函数与勾股定理即可求得点A1的坐标,并直接写出点B1、点C1的坐标;要注意方程思想的应用;
(3)将点A1,B1,C1的坐标代入解析式,利用方程组即可求得解析式,再求得对称轴;
(4)一种是与线段B1C1垂直的直线:分别过点B1、C1;一种是根据直径所对的圆周角是直角求得,以线段B1C1为直径作圆,与对称轴的交点即是所求点.
解答:解:(1)∵四边形A1B1C1O为正方形,
∴OC1=B1C1,∠OC1B1=90度.
又∵D是B1C1的中点,

∵由旋转性质可知,∠C1OD=∠AOA1=α,
∴在Rt△C1OD中,tanα=
∴tanα的值是.(2分)

(2)过点A1作A1E⊥x轴,垂足为点E.
在Rt△A1EO中,tanα=

设A1E=k,则OE=2k,在Rt△A1EO中,
根据勾股定理,得A1E2+OE2=OA12

解得k1=-1(舍),k2=1.
∴A1E=1,OE=2.
又∵点A1在第二象限,
∴点A1的坐标为(-2,1).(4分)
直接写出点B1的坐标为(-1,3),点C1的坐标为(1,2).(6分)

(3)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A1,B1,C1

解得
∴抛物线的函数表达式为.(8分)
将其配方,得
∴抛物线的对称轴是直线.(9分)

(4)存在点P,使△PB1C1为直角三角形.(10分)
满足条件的点P共有4个:.(14分)
点评:此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题.此题考查了二次函数与一次函数,三角形、四边形的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
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