Question

（2011•南岸区一模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ABC的平分线BE交AB边上的中线CD于点H，交AC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接AF交BE的延长线于点G，连接GD．下列结论：①∠F=60°；②GD∥CB；③GH=HB；④∠CEH=∠CHE；⑤S_△BCE：S_△BEA=1：

2

．
其中正确的结论有（　　）

A．①③

B．②④

C．①③⑤

D．②④⑤

Answer 1

分析：①证明△ACF≌△BCE，得∠F=∠BEC=67.5°；
②证明BG⊥AF，从而证明G为AF的中点，根据三角形中位线定理得GD∥CB；
③根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得GD=BD．因CD不与GB垂直，故GH≠HB；
④∠CEH=∠CHE=67.5°；
⑤AB=

2

BC．根据角平分线的性质判断．

解答：解：在△ACF和△BCE中，
∵

AC=BC ∠ACF=∠BCE=90° CF=BE

，
∴△ACF≌△BCE．
①∠F=∠BEC=90°-22.5°=67.5°．故错误；
②∵∠F=67.5°，∠FBG=22.5°，
∴∠FGB=90°，即BG⊥AF．
∵BG平分角FBA，
∴△ABG≌△FBG．
∴AG=FG．
又D为AB中点，
∴GD∥CB．故正确；
③∵GD=

1

2

AB=DB，
∴△GDB为等腰三角形．
∵CD⊥AB，不与GB垂直，
∴GH≠HB．故错误；
④∠CEH=90°-22.5°=67.5°，
∠CHE=45°+22.5°=67.5°，
∴∠CEH=∠CHE．故正确；
⑤∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=

2

BC．
∵BE平分∠ABC，
∴BC：BA=CE：EA=S_△BCE：S_△ABE=1：

2

．
故正确．
故选D．

点评：此题考查全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理、三角形角的角平分线性质等知识点，综合性较强．