Question

1．如图，△ABO和△OCD均为直角三角形，且∠OCD和∠OAB=90°，DC=k•CO，AB=k•AO，M为DB的中点，连接MC、MA，试探索线段MC与MA的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 取BO的中点Q，DO的中点P，连接MP，MQ，CP，AQ，则PM，QM是△BDQ的中位线，于是得到PM∥OB，PM=$\frac{1}{2}$OB，QM∥OD，QM=$\frac{1}{2}$OD，根据平行线的性质得到∠1=∠2=∠3，由直角三角形的性质得到CP=$\frac{1}{2}$OD，AQ=$\frac{1}{2}$OB，于是得到CP=QM，AQ=PM，由已知条件推出$\frac{CD}{OC}=\frac{AB}{AO}$=k，∠OCD=∠OAB=90°，得到△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质得到∠AOB=∠COD，由于∠AQB=2∠AOB，∠CPD=2∠COD，推出∠AQB=∠CPD，得到∠4=∠5，证得△AQM≌△MPC于是得到结论．

解答 解：取BO的中点Q，DO的中点P，连接MP，MQ，CP，AQ，则PM，QM是△BDQ的中位线，
∴PM∥OB，PM=$\frac{1}{2}$OB，QM∥OD，QM=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠1=∠2=∠3，
∵△ABO与△OCD是直角三角形，
∴CP=$\frac{1}{2}$OD，AQ=$\frac{1}{2}$OB，
∴CP=QM，AQ=PM，
∵DC=k•CO，AB=k•AO，
∴$\frac{CD}{OC}=\frac{AB}{AO}$=k，∠OCD=∠OAB=90°，
∴△ABO∽△CDO，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AQB=2∠AOB，∠CPD=2∠COD，
∴∠AQB=∠CPD，
∴∠4=∠CPD-∠1=∠AQB-∠3=∠5，
在△AQM与△MPC中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=PM}\\{∠4=∠5}\\{MQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△AQM≌△MPC，
∴MA=MC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．