Question

6．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，反比例函数y=$\frac{48}{x}$在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于40．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∴AM=OA•sin∠AOB=$\frac{4}{5}$a，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{3}{5}$a，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{5}$a，$\frac{4}{5}$a）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{48}{x}$的图象上，
∴$\frac{3}{5}$a×$\frac{4}{5}$a=$\frac{12}{25}$a²=48，
解得：a=10，或a=-10（舍去）．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA=$\frac{1}{2}$OB•AM=40．
故答案是：40．

点评 本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA．