Question

如图1，已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于M、D点．
（1）求线段DC的长度；
（2）如图2，连接CM，作∠ACB的平分线交DM于N．求证：CM=MN．

Answer 1

（1）解：如图，连接BD，∵MD是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
设DC=x，则BD=AD=4-x，
在△ABC中，AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，DC²+BC²=BD²，
即x²+3²=（4-x）²，
解得x=，
即DC的长为；

（2）证明：∵M为AB的中点，△ABC是直角三角形，
∴BM=MC，
∴∠B=∠BCM，
∵CN是∠ACB的平分线，
∴∠BCN=45°，
∴∠B=45°+∠1，
在四边形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°=360°，
∴∠MDC+∠B=180°，
在△CDN中，∠MDC+45°+∠2=180°，
∴∠MDC=135°-∠2，
∴135°-∠2+45°+∠1=180°，
∴∠1=∠2，
∴CM=MN．
分析：（1）连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，设DC=x，表示出BD=4-x，再根据勾股定理逆定理判断出∠C=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=MC，根据等边对等角可得∠B=∠BCM，然后表示出∠B，再根据四边形的内角和定理表示出∠MDC与∠B的关系，根据三角形的内角和定理表示出∠MDC，然后列方程求出∠1=∠2，根据等角对等边即可证明．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，等角对等边的性质，（2）根据四边形的内角和与三角形的内角和定理列式求出两个角相等是解题的关键，也是本题的难点．