Question

6．我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射线AB上的一个动点（不与D重合），E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转90°得到点F，连接FB，FC，FP．
（1）下列三角形：①△PCF，②△DCB，③△DCA，其中是“倍勾三角形”的有①②（填序号）；
（2）求证：CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求$\frac{BF}{BC}$的值；
（4）当△BCF为“倍勾三角形”时，直接写出所有可能的AP的长度．

Answer 1

分析 （1）求出AD、CD、DB的长即可判断；
（2）由△CDB∽△CPF，推出∠CBD=∠MBP=∠CFB，由△MBP∽△MFC，推出$\frac{MB}{MF}$=$\frac{MP}{MC}$，推出$\frac{MB}{MP}$=$\frac{MF}{MC}$，又∠M=∠M，即可推出△MCP∽△MFB，推出∠MCP=∠MFB，又∠COB=∠FOP，即可推出∠CBO=∠OPF=90°；
（3）由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，设PF=PE=CE=a，由∠AEC=∠EAP+∠APE，∠CAD=∠CAD+∠EAP=45°，推出∠CAE=∠CPA，由∠ACE=∠ACP，推出△ACE∽△PCA，推出AC²=CE•CP，推出2a²=（2$\sqrt{2}$）²，推出a=2，推出PC=4，CD=2，PC=2CD，推出∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，推出∠CFB=30°，推出BF=$\sqrt{3}$BC，推出△BCF不是“倍勾三角形”；
（4）三种情形条件即可①如图3中，当BC=2BF时，作FH⊥AB于H．②如图4中，同法可以假设FH=x，BH=2x，想办法构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵CD⊥AB，∠A=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AD=CD=2，∵AB=3，
∴BD=AB-AD=1，
∴CD=2BD，
∴△CDB是“倍勾三角形”，
∵∠CPF=90°，PC=2PF，
∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案为①②．

（2）如图1-1中，设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线于M．

∵△CDB，△CPF都是“倍勾三角形”，
∴△CDB∽△CPF，
∴∠CBD=∠MBP=∠CFB，∵∠BMP=∠CMF，
∴△MBP∽△MFC，
∴$\frac{MB}{MF}$=$\frac{MP}{MC}$，
∴$\frac{MB}{MP}$=$\frac{MF}{MC}$，∵∠M=∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP=∠MFB，∵∠COB=∠FOP，
∴∠CBO=∠OPF=90°，
∴CB⊥BF．

（3）结论：△BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2中，

由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，
设PF=PE=CE=a，
∵∠AEC=∠EAP+∠APE，∠CAD=∠CAD+∠EAP=45°，
∴∠CAE=∠CPA，∵∠ACE=∠ACP，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC²=CE•CP，
∴2a²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴a=2，
∴PC=4，CD=2，PC=2CD，
∴∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，
∴∠CFB=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$BC，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\sqrt{3}$．

（4）如图3中，当BC=2BF时，作FH⊥AB于H．

易证∠DCB=∠FBH，
∴tan∠DCB=tan∠FBH=$\frac{1}{2}$=$\frac{FH}{BH}$，设FH=x，BH=2x，
在Rt△BFH中，x²+（2x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴BH=1，
∴C、D、H、F共线，
易证△PDC∽△FDP，可得PD²=CD•DF=1，
∴PD=1，AP=AD-PD=1．
如图4中，同法可以假设FH=x，BH=2x，

在Rt△BFH中，x²+（2x）²=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$）²，或x²+（2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$或2，
设PB=y，由△CDP∽△PHF，
∴$\frac{CD}{PH}$=$\frac{DP}{FH}$，
∴$\frac{2}{1-y}$=$\frac{1+y}{\frac{1}{2}}$或$\frac{2}{4-y}$=$\frac{1+y}{2}$，
解得y=0或3，
∴AP=3或6，
综上所述，满足条件的AP的值为1或3或6．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、“倍勾三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．