Question

（2012•江干区一模）菱形ABCD中，如果

3

AB²=BD•AC，则∠ABC的度数是（　　）

A．60°

B．30°

C．60°或120°

D．30°或150°

Answer 1

分析：首先设AB=a，由四边形ABCD是菱形，即可求得OA²+OB²=AB²=a²，又由

3

AB²=BD•AC，易求得OA•OB=

3

4

a²，继而求得OA+OB=

1+ 3

2

a，则可知OA，OB是方程：x²-

1+ 3

2

ax+

3

4

a=0的解，继而求得OA的值，然后利用特殊角的三角函数值，求得∠ABC的度数．

解答：解：设AB=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，OB=

1

2

BD，
∴在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²=a²，
∵

3

AB²=BD•AC=4OA•OB=

3

a²，
∴OA•OB=

3

4

a²，
∴（OA+OB）²=OA²+OB²+2OA•OB=a²+

3

2

a²=

2+ 3

2

a²，
∴OA+OB=

1+ 3

2

a，
∴OA，OB是方程：x²-

1+ 3

2

ax+

3

4

a=0的解，
解得：x₁=

1

2

，x₂=

3

2

a，
当OA=

1

2

a时，sin∠ABO=

OA

AB

=

1

2

，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=2∠ABO=60°；
当OA=

3

2

a时，sin∠ABO=

OA

AB

=

3

2

，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=2∠ABO=120°．
∴∠ABC的度数是：60°或120°．
故选C．

点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值以及一元二次方程的根与系数的关系．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．