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    15．小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．
    （1）若△ABC中，AB=4，∠ABC=60°，∠ACB=45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
    （2）拓展运用：
    如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．
    （注：并简要说明画法）

    分析 （1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．由IH∥BC，得$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$列出方程即可解决问题．
    （2）利用位似知识，找到圆心M即可解决问题．

    解答 解：（1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．

    在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=60°，AB=4，
    ∴BM=2，AM=2$\sqrt{3}$，
    ∵∠C=∠MAC=45°，
    ∴AM=MC=2$\sqrt{3}$，
    ∴BC=2+2$\sqrt{3}$
    ∵IH∥BC，
    ∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$，
    ∴$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$=$\frac{x}{2+2\sqrt{3}}$，
    ∴x=$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$
    ∴小明所作的面积最大的正方形的边长为$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$．

    （2）如图2中，

    ①作∠BAC的平分线AQ，
    ②在AQ上取一点O，作⊙O和AB、AC相切，
    ③连接AP交⊙O于E、F．
    ④作PM1∥OE交AQ于M1，
    ⑤以M1为圆心PM1为半径作⊙M1，
    ⊙M1即为所求．
    同法，作PM2∥OF，交AQ于M2，
    ⊙M2即为所求．

    点评 本题考查位似变换、正方形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

    练习册系列答案
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    6．分解因式：x2-y2+ax+ay=（x+y）（x-y+a）．

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    3．【探究函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象与性质】
    （1）函数y=x+$\frac{9}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
    （2）下列四个函数图象中，函数y=x+$\frac{9}{x}$的图象大致是C；

    （3）对于函数y=x+$\frac{9}{x}$，求当x＞0时，y的取值范围．
    请将下面求解此问题的过程补充完整：
    解：∵x＞0
    ??∴y=x+$\frac{9}{x}$
    =（$\sqrt{x}$）2+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）2
    =（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）2+6
    ∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）2≥0，
    ?∴y≥6．
    【拓展运用】
    （4）若函数y=$\frac{{{x^2}-5x+9}}{x}$，则y的取值范围是y≤-11或y≥1．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．每年4月23日是“世界读书日”，为了了解我校八年级700名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了10%进行调查．在这次调查中，样本容量是（　　）
    A．700B．10%C．70D．7

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    20．已知函数y=（m+1）x+2m-6，
    （1）若函数图象过（-1，2），求此函数的解析式．
    （2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．
    （3）求满足（2）条件的直线与直线y=-3x+1的交点，并求出这两条直线与y轴所围成三角形的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
    （1）试猜想线段BG和AE的关系为；
    （2）如图②，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

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    4．声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）的关系，如表列出了一组不同气温时的音速．
    气温x　（℃）…051015…
    音速y　（m/s）…331334337340…
    （1）求出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
    （2）当声音在空气中的传播速度为343米/秒，气温多少？
    （3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地相距多远？

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    5．如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（-2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．
    （1）点A的坐标是（-4，0）；抛物线l1的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）2+3；
    （2）当BM=3时，求b的值；
    （3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2．
    ①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围-2＜x＜2；
    ②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．

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