Question

4．某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装江米20千克，为迎接今年5月30日的“端午节”，该超市决定在节前20天增加每天包装江米的质量，包装质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天包装的质量．
（1）求出在这20天内每天包装江米的质量y（千克）随天数x（x＞0且x为正整数）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若该超市每天都会将当天包装的江米全部出售，已知江米的成本价为每千克9.5元，包装费用平均每千克为0.5元，售价为每千克12元，那么在这20天中有几天销售江米的利润大于64元？（总利润=销售额-成本-包装费用）

Answer 1

分析 （1）观察函数图象找出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法，即可求出在这20天内每天包装江米的质量y（千克）随天数x（x＞0且x为正整数）变化的函数关系式；
（2）设日利润为w，结合（1）即可得出w关于x的函数关系式，令w＞64，解之即可得出x的取值范围，此题得解．

解答 解：（1）设每天包装江米的质量y（千克）随天数x（x＞0且x为正整数）变化的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
当0＜x≤15时，将（0，20）、（15，38）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{b=20}\\{15k+b=38}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1.2}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴此时函数关系式为y=1.2x+20；
当15≤x≤20时，将（15，38）、（20，20）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{15k+b=38}\\{20k+b=20}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3.6}\\{b=92}\end{array}\right.$，
∴此时函数关系式为y=-3.6x+92．
综上所述：y与x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{1.2x+20（0＜x≤15且x为正整数）}\\{-3.6x+92（15≤x≤20且x为正整数）}\end{array}\right.$．
（2）设日利润为w，
根据题意得：当0＜x≤15时，w=（12-9.5-0.5）（1.2x+20）=2.4x+40；
当15≤x≤20时，w=（12-9.5-0.5）（-3.6x+92）=-7.2x+184．
令2.4x+40＞64，
解得：x＞10，
∴x=11、12、13、14、15；
令-7.2x+184＞64，
解得：x＜$\frac{50}{3}$，
∴x=15、16．
∴在这20天中有6天销售江米的利润大于64元．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）通过解一元一次不等式找出x的取值范围．