Question

已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上，BC=kAB （k≠0）。
（1）当k=1时，在图（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F，写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；
（2）若k≠1，如图（2），∠BEF=∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）正确画出图形，EF=EB， 证明：如图（1），在直线m上截取AM=AB，连接ME， ∵BC=kAB，k=1， ∴BC=AB， ∵∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， ∵m∥n， ∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°， ∵AE=AE， ∴△MAE≌△BAE， ∴EM=EB，∠AME=∠ABE， ∵∠BEF=∠ABC=90°， ∴∠FAB+∠BEF=180°， ∴∠ABE+∠EFA=180°， 又∵∠AME+∠EMF=180°， ∴∠EMF=∠EFA， ∴EM=EF， ∴EF=EB；
（2）EF=EB，说明：如图（2）， 过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N， ∴∠EMF=∠ENA=90°， ∵m∥n，∠ABC=90°， ∴∠MAB=90°， ∴四边形MENA为矩形， ∴ME=NA，∠MEN=90°， ∵∠BEF=∠ABC=90°， ∴∠MEF=∠NEB， ∴△MEF∽△NEB， ∴， ∴， 在Rt△ANE和Rt△ABC中， ， ∴EF=EB。