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    如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
    （3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
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    分析：（1）根据抛物线经过原点、A点、M点可得抛物线的解析式；
    （2）根据将抛物线向右平移m个单位得到平移后的解析式，将两个解析式组成一个方程组，解此方程组得P点的纵坐标，即△CDP的高，而底边CD的长据原抛物线可知，三角形面积可求；
    （3）画出图形，根据圆和菱形的性质得出△BAE是直角三角形，若△BAE∽△A′EF，则△A′EF也是直角三角形，故可求A′F，则F坐标可求．
    解答：解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得，
    c=0，
    由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），
    将他们的坐标值分别代入解析式可得，
    2=a+b
    0=4a+2b
    ，
    解得，
    a=-2
    b=4
    ，
    故该抛物线的解析式为：y=-2x2+4x；

    （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：
    y=-2（x-m）2+4（x-m），
    原抛物线与平移后的解析式交于P点，
    则有
    y=-2x2+4x
    y=-2(x-m)2+4(x-m)
    ，
    解得，
    x=
    m
    2
    + 1
    y=-
    m2
    2
    +2
    ，
    即P点坐标为：（
    m
    2
    + 1    ，-
    m2
    2
    +2    ），
    那么△CDP的高为：-
    m2
    2
    +2    ，而CD=2，
    则S=
    1
    2
    ×2×（-
    m2
    2
    +2    ），
    化简得，S=-
    m2
    2
    + 2    ；精英家教网

    （3）如图，
    四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，
    B点的纵坐标为：
    		22-12
    =
    		3
    ，
    那么tan∠BA′A=
    		3
    3
    ，
    故∠BA′A=∠A′BA=30°，
    A′E=AE=
    1
    cos30°
    =
    2
    		3
    3
    ，
    则
    AE
    AB
    =
    		3
    3
    正好是tan30°的值，
    故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，
    则∠A′EF=90°，
    A′F=
    A′E
    cos30°
    =
    4
    3
    ，
    则AF=2-
    4
    3
    =
    2
    3
    ，F横坐标为：2+
    2
    3
    =
    8
    3
    ，
    故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（
    8
    3
    ，0）．
    点评：本题考查二次函数的综合运用，其中涉及圆的性质和三角函数的运用，难度较大，计算较为复杂．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
    （1）此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
    （3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线y=-x2+b x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．
    （1）求b，c的值．
    （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
    （3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
    ①求证：PB=PS；
    ②判断△SBR的形状．

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