Question

如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）将矩形ABOC以B旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FBDE，双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
（3）在双曲线上是否存在一点P，使得直线PN与直线BC平行？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2，
∴AB=4，
∵点A在第一象限
∴A（2，4），
∵顶点A在双曲线的图象上，
将A点代入双曲线函数中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，
∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，
∴将y=2代入中，得x=4，
将x=6代入中，则，
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN=2，
∴．

（3）设直线BC的表达式为y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴得
∴直线BC的表达式为y=-2x+4，
若直线PN∥BC，则可设直线PN为y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直线PN为y=-2x+10，
由
得
∴P点的坐标为（1，8）．
分析：（1）根据面积为8的矩形ABOC，AC=2，可以求出AB，即可得出A点的坐标，即可求出解析式；
（2）由矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，得出点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，从而求出
E，N的坐标，即可得出△MEN的面积；
（3）首先求出直线BC解析式，再根据直线PN与直线BC平行，得出一次项系数相等，再将N点坐标代入即可求出．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，根据两直线平行得出两一次函数的一次项系数相等是解决问题的关键．