Question

如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.

（1）当∠BAD=75°时，求的长；

（2）求证：BC∥AD∥FE；

（3）设AB=，求六边形ABCDEF的周长L关于的函数关系式，并指出为何值时，L取得最大值.

Answer 1

解：(1)连结OB．OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，

∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，

故的长为．

(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，

同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．

(3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，从而

BC=AD-2AM=2r-2AM．

∵AD为直径，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB

∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-

∴L=4x+2(2r-)==，其中0＜x＜

∴当x=r时，L取得最大值6r．