Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4$\sqrt{3}$，0）是x轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC=60°，现将抛物线y=x²沿直线OC平移到y=a（x-m）²+h，则当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是（　　）

• A． $\sqrt{3}$≤m≤3$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$≤m≤$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$≤m≤$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$≤m≤$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接BC交OA于M，由四边形OBAC是菱形，得到OA⊥BC，OM=AM=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，∠BOA=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，求得BM=2，于是得到B（2$\sqrt{3}$，2），C（2$\sqrt{3}$，-2），求得直线OC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得到y=（x-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，把A（4$\sqrt{3}$，0）B（2$\sqrt{3}$，2）代入y=（x-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m即可得到结论．

解答 解：连接BC交OA于M，
∵四边形OBAC是菱形，
∴OA⊥BC，OM=AM=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，∠BOA=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴BM=2，
∴B（2$\sqrt{3}$，2），C（2$\sqrt{3}$，-2），
∴直线OC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵抛物线y=x²沿直线OC平移，
∴h=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴y=a（x-m）²+h为y=（x-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∵当抛物线与菱形的AB边有公共点时，
把A（4$\sqrt{3}$，0）代入y=（x-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m得0=（4$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，解得m=3$\sqrt{3}$，m=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∵3$\sqrt{3}$＜$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴m=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
把B（2$\sqrt{3}$，2）代入y=（x-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m得，2=（2$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
解得m=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，m=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$＞\sqrt{3}$，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}≤$m≤$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查了二次函数与几何变换，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键．