Question

在平面直角坐标系中A（0，2），B（4，0），已知AC交BC于点C，AC∥x轴，BC∥y轴，①以C为对称中心，作△ABC关于C的像△A₁B₁C；②将△ABC逆时针旋转90°得到△AB₂C₁（题中已经作出），继续沿y轴作△AB₂C₁的轴对称图形得到△AB₃C₁
（1）按要求做出△A₁B₁C和△AB₃C₁；
（2）已知抛物线P经过点A，B，A₁，请求出该抛物线方程；
（3）平移（2）中的抛物线，设新的抛物线方程为y=ax²-mx+3m²+5，并使抛物线的顶点落在△B₁B₂B₃边上或内部，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）根据网格结构找出点A、B关于点C的像，然后顺次连接即可得到△A₁B₁C，根据网格结构找出点B₂关于y轴的对称点B₃的位置，然后作出△AB₃C₁即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点A、B、A₁的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；
（3）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出a的值，然后表示出新抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线B₁B₃的解析式与直线B₁B₂的解析式，然后根据抛物线顶点坐标在△B₁B₂B₃边上或内部，则横坐标在点B₁、B₃之间，纵坐标的值不大于直线B₂B₃的函数值，不大于直线B₁B₂的函数值，不小于直线B₁B₃的函数值，分别求不等式的解，然后求各解集的公共部分即可．

解答：解：（1）如图所示，△A₁B₁C和△AB₃C₁即为所求作的三角形；

（2）由图可知，A、B、A₁的坐标分别为：A（0，2），B（4，0），A₁（8，2），
设函数解析式为：y=ax²+bx+c，
则

c=2 16a+4b+c=0 64a+8b+c=2

，
解得

a= 1 8 b=-1 c=2

，
所以，该抛物线方程为y=

1

8

x²-x+2；

（3）根据平移变换的性质并由题（2）可知a=

1

8

，
所以，新抛物线为y=

1

8

x²-mx+3m²+5=

1

8

（x-4m）²+m²+5，
顶点坐标为（4m，m²+5），
根据图形，B₁（4，4），B₃（-2，6），设直线B₁B₃的解析式为y=kx+b，
则

4k+b=4 -2k+b=6

，
解得

k=- 1 3 b= 16 3

，
所以，直线B₁B₃的解析式为y=-

1

3

x+

16

3

，
根据图形B₁（4，4），B₂（2，6），设直线B₁B₂的解析式为y=ex+f，
则

4e+f=4 2e+f=6

，
解得

e=-1 f=8

，
所以，直线B₁B₂的解析式为y=-x+8，
∵顶点在三角形内部或者边上，
∴①-2≤4m≤4，解得-

1

2

≤m≤1，
②m²+5≤6，解得-1≤m≤1，
③-

1

3

m+

16

3

≤m²+5，整理得，3m²+m-1≥0，
解得m≥

-1+ 13

6

或m≤

-1- 13

6

，
④-m+8≥m²+5，整理得，m²+m-3≤0，
解得

-1- 13

2

≤m≤

-1+ 13

2

，
在数轴上表示如下：

所以，m的取值范围是

-1+ 13

6

≤m≤1．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要有利用中心对称变换与轴对称变换作图，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（3）相比较较为复杂，根据平移的性质求出a的值，再根据顶点坐标在三角形的内部与外部，根据顶点的横坐标与纵坐标结合三角形三边的解析式列出不等式是解题的关键，另外，一元二次不等式的求解比较难，可以借助二次函数图象求解．